Окончил театральное отделение Пензенского художественного училища в 1986 г. С 1995 г. работает в разных театрах России как сценограф и художник по костюмам. Оформил более 60 спектаклей в разных театрах России и за рубежом. В их числе — МХАТ им.Чехова, театр им.Моссовета, театры «Сатирикон», «Et cetera» и др.  Сотрудничал с режиссерами К.Райкиным, Д.Бертманом, М.Угаровым, В.Шамировым, В.Агеевым, В.Данцигером, С.Стеблюком, П.Хомским и другими.
В творческой биографии Андрея Климова есть и работы в кино в качестве художника по костюмам — в фильме В. Мережко «Новогодние мужчины», «Есть идея» режиссёра В. Бутурлина. Андрей Климов является постоянным участником художественных выставок в городах России.